수학적 불변성이란 어떤 변환이 수학적 대상에 작용하였을 때 특정한 양이나 속성이 변하지 않는 것으로, 수학의 핵심적인 특성 중 하나이다. 학교수학에서는 직접적으로든 간접적으로든 수학적 불변성과 관련된 내용을 찾아볼 수 있으며, 이때 수학적 불변성을 인식하고 이를 어떻게 다루느냐에 따라 교사의 가르치는 방법이 달라질 것으로 기대할 수 있다.
본 연구에서는 이러한 발상을 토대로 학교수학에 내재된 수학적 불변성에는 무엇이 있는지, 또 이를 활용한 구체적인 교수-학습 방안에는 어떤 것들이 있는지 다루어 보았다. 그리고 이러한 연구문제를 다루어 봄으로써 궁극적으로 학교수학에 내재된 수학적 불변성이 수학을 잘 가르치기 위한 지식으로서 가치가 있음을 제고하고자 하였다.
한편 중학교 기하영역에서는 구체물을 직접 다룰 수 있는 주제가 많고, 동적 기하 소프트웨어의 활용, 다양한 수준의 정당화 방법이 가능하다는 점에서 교사의 전문성이 두드러진다고 볼 수 있다. 이에 본 연구는 중학교 기하영역을 중심으로 다음과 같이 연구문제를 수행하였다.
첫째, 우리나라 교과서에서 수학적 불변성의 구체적인 사례들을 탐색하여 분석한다.
둘째, 탐색 결과를 이용하여 학생들의 수학적 불변성 인식을 염두에 둔 교수-학습 방안(Mathematical Invariance Based Learning, 이하 MIBL)을 제안한다.
셋째, 제안된 MIBL의 수학교육적 의의는 무엇인지 기존의 교수-학습 방안과 비교하여 논의한다.
위와 같이 연구문제를 수행한 결과 다각형의 외각의 크기의 합, 삼각형의 외심, 삼각비, 원과 현의 비례관계 등에서 수학적 불변성을 추출하고 MIBL을 구안할 수 있었으며, 이를 분석해 봄으로써 MIBL이 유의미한 교수-학습 방안임을 확인하였다.
결론적으로 MIBL의 필요조건으로서 수학적 불변성이 수학교사에게 유의미한 지식임을 엿볼 수 있었으며, 나아가 교사 교육에 있어서도 이를 염두에 둘 것을 제안하였다.
요컨대 본 연구는 수학교사의 지식으로서 수학적 불변성의 가치를 제고하기 위하여 학교수학에 내재된 수학적 불변성을 탐색하고 MIBL이라는 새로운 수업모형을 제안함으로써 학교수학의 내용을 재조명해 보았다.